Calendario B, Grado 10º

SEMANA DE APLICACIÓN:
COLEGIO							CALENDARIO	B
AÑO LECTIVO	2019-2020	GRADO	10	PERIODO	3	DOCENTE

ESTÁNDAR

Entorno físico:

Explico condiciones de cambio y conservación en diversos sistemas teniendo en cuenta transferencia y transporte de energía y su interacción con la materia.

Ciencia, tecnología y sociedad:

Identifico aplicaciones de algunos conocimientos sobre la herencia y la reproducción al mejoramiento de la calidad de vida de las poblaciones.
Identifico aplicaciones comerciales e industriales del transporte de energía y de las interacciones de la materia.

COMPONENTE

Entorno físico.
Ciencia, tecnología y sociedad.

INDICADOR DE DESEMPEÑO

De Conocimiento:

Comprendo y calculo algunos elementos presentes en la mecánica de fluidos.

De Desempeño:

Empleo datos obtenidos de gráficos y/o problemas para calcular presión, fuerza de empuje, energía potencial y cinética, caudal, dependiendo del respectivo principio físico que se esté desarrollando.

METODOLOGÍA/ SECUENCIA DIDÁCTICA

Unidad didáctica

Teorema de Bernoulli

Propósito

Comprender e interpretar el teorema de Bernoulli.

Desarrollo cognitivo instruccional

Teorema de Bernoulli

Para iniciar observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=aXiSkWBKnzs

El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras, está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica...) esta ha de permanecer constante.

El teorema considera los tres únicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son; energía cinética, energía potencial gravitatoria y la energía debida a la presión de flujo (hidrostática). Veamos cada una de ellas por separado:

Energía cinética (hidrodinámica)	Debida a la velocidad de flujo
Energía potencial gravitatoria	Debida a la altitud del fluido
Energía de flujo (hidrostática)	Debida a la presión a la que está sometido el fluido

Por lo tanto, el teorema de Bernoulli se expresa de la siguiente forma:

Donde:

v es la velocidad de flujo del fluido en la sección considerada.
g es la constante de gravedad.
h es la altura desde una cota de referencia.
p es la presión a lo largo de la línea de corriente del fluido (p minúscula).
ρ es la densidad del fluido.

Si consideramos dos puntos de la misma conducción (1 y 2) la ecuación queda:

Donde m es constante por ser un sistema cerrado y V también lo es por ser un fluido incompresible. Dividiendo todos los términos por V, se obtiene la forma más común de la ecuación de Bernoulli, en función de la densidad del fluido:

Una simplificación que en muchos casos es aceptable es considerar el caso en que la altura es constante, entonces la expresión de la ecuación de Bernoulli, se convierte en:

Desarrollo Metodológico

Ejemplo 1: Un flujo de agua va de la sección 1 a la sección 2. La sección 1 tiene 25 mm de diámetro, la presión manométrica es de 345 kPa, y la velocidad de flujo es de 3 m/s. La sección 2, mide 50 mm de diámetro, y se encuentra a 2 metros por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión “P2”.

https://www.fisimat.com.mx/wp-content/uploads/2017/10/ejercicio_resuelto_bernoulli.png

Solución:

Tenemos que analizar nuestros datos, es decir, que es lo que sí tenemos y lo que nos hace falta por encontrar, así también realizar el despeje de la variable que vamos a calcular. Entonces procedemos:

Datos:

d1 = 25 mm

d2 = 50 mm

p1 =345 Kpa

v1 = 3 m/s

d2 = 50 mm

p2 =?

Si leemos bien el problema, nos daremos cuenta que tenemos la altura, ya que si hacemos h2 – h1 = 2 metros. Por lo que nos ahorramos algo de cálculo. Finalmente procedemos a despejar a p2 de la fórmula que ya tenemos:

Despejando y para hacer más fácil el proceso, recordemos que la densidad del agua no tendrá ninguna variación tanto al inicio como al final, entonces podemos decir que la densidad será constante, y la podemos omitir para el cálculo.

Sin embargo, nos hace falta v2, ya que no la tenemos, pero si tenemos el dato de los diámetros, entonces si recordamos bien; podemos hacer uso de la ecuación de continuidad qué es una ecuación que deriva del gasto.

Así que:

$\displaystyle {{A}_{1}}{{v}_{1}}={{A}_{2}}{{v}_{2}}$

Despejando a “v2”

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{A}_{1}}{{v}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Calculando ahora las áreas 1 y 2.

$\displaystyle {{A}_{1}}=\frac{\pi {{d}_{1}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(25mm)}^{2}}}{4}=491m{{m}^{2}}$

La otra área

$\displaystyle {{A}_{2}}=\frac{\pi {{d}_{2}}^{2}}{4}=\frac{\pi {{(50mm)}^{2}}}{4}=1963m{{m}^{2}}$

Ahora de la ecuación de continuidad tenemos que:

Ahora si podemos utilizar nuestra fórmula despejada de la presión en 2.

Factorizamos un poco:

Sustituimos todos nuestros datos

$\displaystyle {{p}_{2}}=\frac{1}{2}\left( {{(3)}^{2}}-{{(0.75)}^{2}} \right)+(9.81)\left( 0-2 \right)+345kPa$

Por lo que el resultado nos da:

$\displaystyle {{p}_{2}}=329.6kPa$

Qué sería la presión en la sección 2, recordemos que esta información es cierta. Ya que la presión disminuyó.

Ejemplo 2. Por la tubería que se muestra en la imagen, fluyen 0.11 m³/s de gasolina, si la presión antes de la reducción es de 415 kPa, calcule la presión en la tubería de 75 mm de diámetro.

Problema de Bernoulli ejercicio resuelto

Solución:

A diferencia del problema anterior, podemos observar que están a la misma altura tanto el punto 1 como el punto 2, es decir que no existe ninguna variación por la diferencia de las alturas, observe que se colocó una línea punteada que significa justamente lo que acabamos de explicar. Por lo tanto:

$\displaystyle {{h}_{1}}={{h}_{2}}$

Si esto es así, entonces la ecuación principal de Bernoulli, se tendrá que ver simplificada, de alguna forma, veamos la fórmula original:

Como hemos dicho, al realizar h1 = h2. Entonces la ecuación se simplifica de esta forma:

Como el problema nos pide calcular a la presión 2, entonces lo despejamos de la fórmula:

Como la densidad 1 y la densidad 2, son las mismas porque se trata de la misma gasolina entonces la podemos simplificar también, quedando así:

$\displaystyle {{p}_{2}}={{p}_{1}}+{{\rho }_{2}}\left( \frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2} \right)$

Ahora si podemos empezar a resolver el ejercicio, porque ya tenemos la fórmula que usaremos:

Datos del problema:

$\displaystyle {{d}_{1}}=150mm\left( \frac{1m}{1000mm} \right)=0.15m$

$\displaystyle {{d}_{2}}=75mm\left( \frac{1m}{1000mm} \right)=0.075m$

$\displaystyle {{p}_{1}}=415kPa$

$\displaystyle G=0.11\frac{{{m}^{3}}}{s}$

$\displaystyle {{\rho }_{gasolina}}=670\frac{kg}{{{m}^{3}}}$

Resolviendo el ejercicio

Si analizamos los datos y la fórmula que utilizaremos, nos hace falta la velocidad inicial y la velocidad final. Para poder obtener la velocidad inicial basta con entender que el Gasto es el producto de la velocidad por el área, y afortunadamente estos datos si los poseemos, entonces tenemos:

$\displaystyle {{Q}_{1}}={{v}_{1}}{{A}_{1}}$

Despejando a la velocidad inicial o velocidad 1

$\displaystyle {{v}_{1}}=\frac{{{Q}_{1}}}{{{A}_{1}}}$

Solamente tenemos el diámetro uno de la primera sección, pero no tenemos el área entonces la calculamos:

Para obtener la velocidad final o velocidad 2, aplicamos la ecuación de continuidad.

$\displaystyle {{v}_{1}}{{A}_{1}}={{v}_{2}}{{A}_{2}}$

Despejando a la velocidad 2

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{v}_{1}}{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Pero sabemos también que, si multiplicamos la velocidad 1 con el área 1, lógicamente obtendremos el Gasto que nos da el problema, es decir:

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{v}_{1}}{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{G}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

$\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{{{G}_{1}}}{{{A}_{2}}}$

Entonces podemos sustituir nuestros datos, para obtener la velocidad 2

Ahora que ya tenemos tanto a la velocidad 1, como la velocidad 2. Podemos sustituir los datos en la fórmula para obtener la presión 2, que es lo que nos pide el problema: